Question

8．如图，已知三棱锥ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面ABB₁A₁是菱形，且∠A₁AB=60°，M是A₁B₁的中点，MB⊥AC．
（1）求证：平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（2）求二面角M-BB₁-C₁的正切值．

Answer 1

分析 （1）由于侧面ABB₁A₁是边长为2的菱形，M是A₁B₁的中点得BB₁=2，B₁M=1，然后在△BB₁M中，由余弦定理得：BM²=4+1-2×2×1×$\frac{1}{2}$=3利用勾股定理可得BM⊥A₁B₁，又BM⊥AC，得证BM⊥平面ABC．
（2取AB的中点O，连接OC，OA₁，则AB⊥OC，AB⊥OA₁，建立以O为坐标原点，OC的反向延长线，OB，OA₁分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法先求出二面角的余弦值，然后求正切值即可．

解答 （1）证明：∵∠A₁AB=60°∴∠BB₁M=60°
∵侧面ABB₁A₁是边长为2的菱形，M是A₁B₁的中点
∴BB₁=2，B₁M=1，
∴在△BB₁M中，
由余弦定理得：BM²=4+1-2×2×1×$\frac{1}{2}$=3，
∴BB₁²=BM²+BM²
∴∠BMB₁=90°，
∴BM⊥A₁B₁
∴BM⊥AB，
∵BM⊥AC，AB∩AC=C，
∴BM⊥平面ABC，
∵BM?平面平面ABB₁A₁，
∴平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（2）取AB的中点O，连接OC，OA₁，则AB⊥OC，AB⊥OA₁，
建立以O为坐标原点，OC的反向延长线，OB，OA₁分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
设OA=OB=1，则OA₁=OC=$\sqrt{3}$，
则平面MBB₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
B（0，1，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），A₁（0，0，$\sqrt{3}$），M（0，1，$\sqrt{3}$），B₁（0，2，$\sqrt{3}$），
则$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{3}$），
设平面BB₁C₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-\sqrt{3}x-y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=-$\sqrt{3}$，z=1，即$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，1），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1•\sqrt{1+3+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
则sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
则tan＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}$=2，
即二面角M-BB₁-C₁的正切值是2．

点评 本题主要考查空间面面垂直的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．