Question

已知

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），

c

=(-sin

x

2

，cos

x

2

)且x∈[-

π

2

，

π

2

]．
（1）求函数f（x）=2

a

•

c

+|

a

+

b

|的单调递增区间；
（2）若函数g（x）=

a

•

b

-2k|

a

+

b

|的最小值是-

3

2

，求实数k的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,分类讨论,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式和两角和差的正弦公式，以及正弦函数的增区间，计算即可所求区间；
（2）运用向量的数量积的坐标表示，及二次函数的最值问题，结合余弦函数的值域，分类讨论即可得到k．

解答： 解：（1）

a

•

b

=cos

3

2

xcos

x

2

-sin

3

2

xsin

x

2

=cos2x，
函数f（x）=2

a

•

c

+|

a

+

b

|=2（sin

3

2

xcos

x

2

-cos

3

2

xsin

x

2

）+

a 2+ b 2+2 a • b

=2sinx+

1+1+2cos2x

=2（sinx+cosx）=2

2

sin（x+

π

4

），
令2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，即2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，k∈Z，
令k=0，有-

3π

4

≤x≤

π

4

，
则有单调递增区间为[-

π

2

，

π

4

]；
（2）g（x）=cos2x-2k•2cosx=2cos²x-4kcosx-1
=2（cosx-k）²-1-2k²，
由x∈[-

π

2

，

π

2

]，cosx∈[0，1]，
当k≤0时，有cosx=0，取得最小值，且为-1，不成立；
当k≥1时，有cosx=1，取得最小值，且为2-4k-1=-

3

2

，即有k=

5

8

，不成立；
当0＜k＜1时，有cosx=k，取得最小值，且为-1-2k²=-

3

2

，解得k=

1

2

（-

1

2

舍去），成立．
则有k的取值为

1

2

．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查二倍角公式和两角和差的余弦公式的运用，考查余弦函数的图象和性质，考查二次函数的最值问题，属于中档题和易错题．