Question

在三棱锥P-ABC内，已知PA=PC=AC=

2

，AB=BC=1，面PAC⊥面ABC，E是BC的中点．
（1）求直线PE与AC所成角的余弦值；
（2）求直线PB与平面ABC所成的角的正弦值；
（3）求点C到平面PAB的距离．

Answer 1

（1）分别取AB，AC的中点F，H，连接PH，HF，HE，EF
由于E、F分别是BC、AB的中点，故EF是△ABC的中位线，则有EF∥AC，
故∠PEF是异面直线PE与AC所成的角或补角
在△PEF中，PE=PF=

7

2

，EF=

2

2

故cos∠PEF=

14

14

（2）由于PA=PC，H是AC的中点，
有PH⊥AC
又由面PAC⊥面ABC
面PAC∩面ABC=AC
有PH⊥面ABC
故∠PBH是直线PB与平面ABC所成的角
在△PBH中，PH=

2

2

，PH=

6

2

∴tan∠PBH=

PH

BH

=

3

故sin∠PBH=

3

2

（3）∵V_P-ABC=V_C-PAB=

1

3

S_△ABC•PH=

1

3

•

1

2

×1×1×

6

2

=

6

12

又由三角形PAB的面积S_△PAB=

7

4

∴点C到平面PAB的距离h=

3•VC-PAB

S△PAB

=

42

7