Question

在数列{a_n}中，a₁＝1，＝＋．

(1)设b_n＝，求数列{b_n}的通项公式；

(2)求数列{a_n}的前n项和S_n．

 

Answer 1

【答案】

(1) b_n＝2－ (2) n(n＋1)＋－4

【解析】(1)由＝＋可知b_n＋1＝b_n＋,然后可利用叠加法求b_n.

(2)再利用b_n＝可求出,然后再利用分组求和和错位相减法求和即可．

解：(1)由已知得b₁＝a₁＝1且＝＋，

即b_n＋1＝b_n＋，

从而b₂＝b₁＋，

b₃＝b₂＋，

…

b_n＝b_n－1＋ ( n≥2)，

于是b_n＝b₁＋＋＋…＋，

＝2－ ( n≥2)，      ………………4分

又b₁＝1，       ………………5分

∴{b_n}的通项公式b_n＝2－    .………………6分

(2)由(1)知a_n＝n·b_n＝2n－，     ………………7分

令T_n＝＋＋＋…＋，

则2T_n＝2＋＋＋…＋，    ………………8分

作差得：

T_n＝2＋(＋＋…＋)－＝4－，     ………………10分

∴S_n＝(2＋4＋6＋…＋2n)－T_n

＝n(n＋1)＋－4. ………………12分

说明：各题如有其它解法可参照给分．