Question

设a＞0，b＞0，则下列不等式中正确的有几个（　　）
（1）a²+1＞a；
（2）（a+

1

a

）（b+

1

b

）≥4；
（3）（a+b）（

1

a

+

1

b

）≥4；
（4）a²+9＞6a；
（5）a²+1+

1

a2+1

＞2．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：（1）由于a＞0，利用基本不等式即可判断（1）正确；
（2）将（a+

1

a

）（b+

1

b

）展开，利用基本不等式可判断（2）正确；同理可判断（3）正确；
（4）a²+9-6a=（a-3）²≥0，可判断（4）错误；
（5）a²+1+

1

a2+1

≥2，等号在a=0时成立，但a＞0，可判断（5）正确；

解答：解：∵a＞0，b＞0，
∴a²+1≥2a＞a，
∴①正确；
（a+

1

a

）（b+

1

b

）=（ab+

1

ab

）+（

b

a

+

a

b

）≥2+2=4，等号在a=b时成立，
∴②正确；
（a+b）（

1

a

+

1

b

）=2+

b

a

+

a

b

≥4．等号在a=b时成立，
∴③正确；
∵a²+9-6a=（a-3）²≥0，
∴a²+9≥6a．等号在a=3时成立，
∴④错误；
a²+1+

1

a2+1

≥2．等号在a=0时成立，但a＞0，
∴a²+1+

1

a2+1

＞2，
∴⑤正确．
故正确的不等式有4个．
故选D．

点评：本题考查基本不等式，应用基本不等时，“一正，二定，三等”缺一不可，属于中档题．