Question

已知a为非负实数，解关于x的不等式：

ax-1

x-a

＞0．

Answer 1

分析：通过对不等式x的系数a，以及不等式转化为二次不等式对应方程的两个根的大小分类讨论，求解即可．

解答：解：依题意，a≥0，∴

ax-1

x-a

＞0⇒（ax-1）（x-a）＞0
当a=0时，不等式化为：-x＞0，其解为：{x|x＜0}
若a＞0，则不等式可化为：（x-

1

a

）（x-a）＞0
当0＜a＜1时，a＜

1

a

，不等式解为：{x|x＜a或x＞

1

a

}
当a=1时，不等式化为：（x-1）（x-1）＞0，其解为：{x|x∈R且x≠1}
当a＞1时，a＞

1

a

，不等式解为：{x|x＜

1

a

或x＞a}．
综上：当a=0时，不等式的解集为：{x|x＜0}
当0＜a＜1时，不等式的解集为：{x|x＜a或x＞

1

a

}
当a=1时，不等式的解集为：{x|x∈R且x≠1}
当a＞1时，不等式的解集为：{x|x＜

1

a

或x＞a}．

点评：本题考查分式不等式的解法，分类讨论思想的应用，考查计算能力．