Question

【题目】已知函数f（x）=2sinωx，其中常数ω＞0．
（Ⅰ）令ω=1，求函数 在 上的最大值；
（Ⅱ）若函数 的周期为π，求函数g（x）的单调递增区间，并直接写出g（x）在 的零点个数．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sinωx，ω=1时，则f（x）=2sinx，那么：函数 =2sinx+4cos2x=4﹣4sin2x+2sinx，
令t=sinx，
∵x在 上，
∴﹣1≤t≤0
则函数F（x）转化为h（t）=﹣4t2+2t+4，
对称轴t= ，
∵﹣1≤t≤0，
∴h（t）的最大值为h（0）max=4，即ω=1，求函数 在 上的最大值为4．
（Ⅱ） =2﹣2sinωx+ cosωx，
∵周期为π，即T= ，
解得：ω=2
∴函数g（x）=2﹣2sin2x+ cos2x=2﹣4sin（2x﹣ ）=4sin（2x+ ）+2．
∵2x+ ）∈[2k ， ]是单调递增区间，即2k ≤2x+ ≤
解得： ≤x≤
函数g（x）的单调递增区间位[ ， ]，k∈Z．
令g（x）=0，即4sin（2x+ ）+2=0，
解得：2x+ =2kπ﹣ 或者2x+ =2kπ﹣ ，k∈Z．
∵x在 上．
当k取2，3…6时，2x+ =2kπ﹣ 满足要求．
当k取2，3…6时，2x+ =2kπ﹣ 满足要求．
故得g（x）在 上有10零点个数
【解析】（Ⅰ）根据函数f（x）=2sinωx，ω=1，化简F（x）转化为二次函数求解．（Ⅱ）利用辅助角公式化简成为y=Asin（ωx+φ）的形式，函数 的周期为π，再利用周期公式求ω，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）x∈ 时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得零点个数．