Question

6．设函数f（x）=$\frac{1-a}{2}{x}^{2}+ax-lnx$（a∈R）．
（Ⅰ）当a=3，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=-x²+3x-lnx（x＞0）．
f′（x）=-2x+3-$\frac{1}{x}$=$\frac{-（2x-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴f（x）_极大值=f（1）=2，f（x）_极小值=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$+ln2；
（Ⅱ）当a＞1时，f′（x）=$\frac{（1-a）（x-\frac{1}{a-1}）（x-1）}{x}$，
当a=2时，f′（x）=$\frac{{-（x-1）}^{2}}{x}$≤0，函数f（x）在x＞0时单调递减；
当1＜a＜2时，$\frac{1}{a-1}$＞1，令f′（x）＜0，解得0＜x＜1或x＞$\frac{1}{a-1}$，此时函数f（x）单调递减；
令f′（x）＞0，解得1＜x＜$\frac{1}{a-1}$，此时函数f（x）单调递增．
当a＞2时，0＜$\frac{1}{a-1}$＜1，令f′（x）＜0，解得0＜x＜$\frac{1}{a-1}$或x＞1，此时函数f（x）单调递减；
令f′（x）＞0，解得$\frac{1}{a-1}$＜x＜1，此时函数f（x）单调递增．
综上可得：当1＜a＜2时，f（x）在x∈（0，1）或（$\frac{1}{a-1}$，+∞）单调递减；f（x）在（1，$\frac{1}{a-1}$）上单调递增．
当a=2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
当a＞2时，f（x）在（0，$\frac{1}{a-1}$）或（1，+∞）上）单调递减；函数f（x）（$\frac{1}{a-1}$，1）上单调递增．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．