Question

如图已知：BA，BC，BB₁两两垂直，BCC₁B₁为矩形，ABB₁N为直角梯形，BC=BA=AN=4，BB₁=8．
（I）证明：BN⊥平面C₁B₁N；
（ll）求二面角C-NB₁-C₁的余弦值，
（III ）M为AB的中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）以BA，BB₁，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则

BN

=(4，4，0)，

NB1

=(-4，4，0)，

B1C1

=（0，0，4），所以

BN

•

NB1

=0，

BN

•

B1C1

=0，由此能够证明BN⊥平面C₁B₁N．
（II）由BN⊥平面C₁B₁N，知

BN

=（4，4，0）是平面C₁B₁N的一个法向量，再求出平面CB₁N的一个法向量

n

=(1，1，2)，利用向量法能够求出二面角C-NB₁-C₁的余弦值．
（III）由M（2，0，0），设P（0，0，a）（0≤a≤4）为BC上一点，则

MP

=(-2，0，a)，由MP∥平面CNB₁，

MP

⊥

n

，能求出占点P坐标和BP的长．

解答：解：（I）以BA，BB₁，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4），
∴

BN

=(4，4，0)，

NB1

=(-4，4，0)，

B1C1

=（0，0，4），
∴

BN

•

NB1

=0，

BN

•

B1C1

=0，
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁，
∵NB₁∩B₁C₁=B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N．

（II）∵BN⊥平面C₁B₁N，
∴

BN

=（4，4，0）是平面C₁B₁N的一个法向量，
设平面CB₁N的一个法向量为

n

=(x，y，z)，则

n

•

CN

=0，

n

•

B1N

=0，
∴

x+y-z=0 x-y=0

，解得

n

=(1，1，2)，
设二面角C-NB₁-C₁的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

BN

，

n

＞|=|

4+4

32 • 6

|=

3

3

，
∴二面角C-NB₁-C₁的余弦值为

3

3

．
（III）∵M（2，0，0），设P（0，0，a）（0≤a≤4）为BC上一点，
则

MP

=(-2，0，a)，
∵MP∥平面CNB₁，

MP

⊥

n

，
∴

MP

•

n

=-2+2a=0，解得a=1，
∴在BC上存在一点P（0，0，1），MP∥平面CNB₁，且BP=1．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，探索满足条件的点是否存在．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和向量法的合理运用．