Question

已知△ABC中的周长为

2

+1，且sinB+sinC=

2

sinA
（1）求边BC的长；
（2）若△ABC面积为

1

6

sinA，求角A度数．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，得b+c=

2

a，与三角形的周长为

2

+1联解可得a=1，即BC的长为1；
（2）根据三角形的面积公式算出bc=

1

3

，结合（1）的结论b+c=

2

a=

2

，算出b²+c²=

4

3

．再利用余弦定理的式子解出cosA的值，即可得到角A度数．

解答：解：（1）∵sinB+sinC=

2

sinA
∴由正弦定理，得b+c=

2

a
又∵△ABC的周长a+b+c=

2

+1，
∴a+

2

a=

2

+1，解之得a=1，即BC的长为1；
（2）∵△ABC面积为

1

6

sinA，
∴

1

2

bcsinA=

1

6

sinA，可得bc=

1

3

由（1）的结论，得b+c=

2

a=

2

∴b²+c²=（b+c）²-2bc=

4

3

由余弦定理，得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4 3 -1

2× 1 3

=

1

2

结合A为三角形的内角，可得A=60°．

点评：本题给出三角形的周长和角的关系式，求边BC的长并依此求角的大小．着重考查了正余弦定理解三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题．