Question

（2012•浦东新区三模）如图，弧AEC是半径为r的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，线段ED 与弧EC交于点G，且cos∠CBG=

4

5

，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED，FC=2r．
（1）求异面直线ED与FC所成角的大小；
（2）将△FCG（及其内部）绕FC所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积．

Answer 1

分析：（1）由FC⊥平面BED，利用线面垂直的性质定理可得FC⊥ED，即可得到异面直线ED与FC所成角的大小为90°．
（2）连接GC，在△BGC中，利用余弦定理得：CG²=r²+r²-2r²cos∠CBG=

2

5

r2，由题设知，所得几何体为圆锥，分别计算其其底面积及高为F，即可得到该圆锥的体积V．

解答：解：（1）∵FC⊥平面BED，
ED?平面BED，
∴FC⊥ED，
∴异面直线ED与FC所成角的大小为90°．
（2）连接GC，在△BGC中，由余弦定理得：
CG²=r²+r²-2r²cos∠CBG=

2

5

r2，
由题设知，所得几何体为圆锥，其底面积为π•CG2=

2

5

πr2，高为FC=2r．
该圆锥的体积为V=

1

3

×

2

5

πr2×2r=

4

15

πr3．

点评：熟练掌握线面垂直的性质定理、余弦定理、圆锥的体积计算公式是解题的关键．