Question

设项数均为（）的数列、、前项的和分别为、、.已知，且集合=.

（1）已知，求数列的通项公式；

（2）若，求和的值，并写出两对符合题意的数列、；

（3）对于固定的，求证：符合条件的数列对（，）有偶数对.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）时，数列、可以为（不唯一）6,12,16,14；2,8,10,4，时，数列对（，）不存在.（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）这实质是已知数列的前项和，要求通项公式的问题，利用关系来解决；

（2）注意到，从而，又，故可求出，，这里我们应用了整体思维的思想，而要写出数列对（，），可通过列举法写出；（3）可通过构造法说明满足题意和数列对是成对出现的，即对于数列对（，），构造新数列对，（），则数列对（，）也满足题意，（要说明的是及=且数列与，与不相同（用反证法，若相同，则，又，则有均为奇数，矛盾）．

试题解析：（1）时，

时，，不适合该式

故，                        4分

（2）

又

得，=46，=26                                    8分

数列、可以为：

① 16,10,8,12；14,6,2,4       ② 14,6,10,16；12,2,4,8

③ 6,16,14,10；4,12,8,2       ④ 4,14,12,16；2,10,6,8

⑤ 4,12,16,14；2,8,10,6       ⑥ 16,8,12,10；14,4,6,2             10分

（3）令，（）         12分

又=，得

=

所以，数列对（，）与（，）成对出现。         16分

假设数列与相同，则由及，得，，均为奇数，矛盾！

故，符合条件的数列对（，）有偶数对。                18分

考点：（1）数列的前项和与的关系；（2）整体思想与列举法；（3）构造法．