Question

设实数a＞1，若仅有一个整数C使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a²]满足方程log_ax+log_ay=C，则a的取值范围为{2}．

Answer 1

分析：由log_ax+log_ay=c可以用x表达出y，转化为函数的值域问题求解．

解答：解：∵log_ax+log_ay=c，
∴log_axy=c
∴xy=a^c
得y=

ac

x

，单调递减，
所以当x∈[a，2a]时，y∈[

ac-1

2

，ac-1]
所以

ac-1 2 ≥a ac-1≤a2

，
所以

c≥2+loga2 c≤3

因为有且只有一个整数c符合题意，所以2+log_a2=3，解得a=2，
所以a的取值的集合为{2}．
故答案为：{2}．

点评：本题考查函数与方程思想，需要有较强的转化问题的能力．