Question

 在长方体BCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱BC，CC₁上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA₁=1：2：4
（1）求异面直线EF与A₁D所成角的余弦值；
（2）求二面角A₁-ED-F的正弦值．

Answer 1

分析：（1）在空间坐标系中计算出两个直线的方向向量的坐标，由向量的夹角公式即可求出两线夹角的余弦值．
（2）两个平面一个平面的法向量已知，利用向量垂直建立方程求出另一个平面的法向量，然后根据求求二面角的规则求出值即可．

解答：解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，依题意得D（0，2，0），F（1，2，1），A₁（0，0，4），E（1，

3

2

，0），
（1）易得

EF

=（0，

1

2

，1），

A1D

=（0，2，-4），于是cos＜

EF

，

A1D

＞=

EF • A1D

| EF || A1D |

=-

3

5

，
所以异面直线EF与A₁D所成角的余弦值为

3

5

．
（2）设平面EFD的法向量

n

=（x，y，z），则

n

•

EF

=

1

2

y+z=0，且

n

•

ED

=-x+

1

2

y=0，
不妨令x=1，可得

n

=（1，2，-1），
设平面A₁ED的法向量

m

=（m，n，p）则

m

•

ED

=-m+

1

2

n=0且

m

•

DA1

=-2n+4p=0，
取p=1，则n=2，m=1，则

m

=（1，2，1），
于是cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

2

3

，从而sin＜

n

，

m

＞=

5

3

，
所以二面角A₁-ED-F的正弦值为

5

3

．

点评：本题考查用向量法求异面直线所成的角，二面角，利用向量法求异面直线所成的角要注意异面直线所成角的范围与向量所成角的范围的不同．