Question

在数列{a_n}中，a1=2，an+1=

2an

an+1

（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求证：a₁（a₁-1）+a₂（a₂-1）+…+a_n（a_n-1）＜3．

Answer 1

分析：（1）对an+1=

2an

an+1

两边取倒数，进一步构造出等比数列{

1

an

-1}，通过等比数列{

1

an

-1}的通项求出数列{a_n}的通项a_n；
（2）a_n（a_n-1）=

2n

(2n-1)2

，对n≥2时放缩：a_n（a_n-1）=

2n

(2n-1)2

＜

2n

(2n-1) (2n-2)

=

2n-1

(2n-1) (2n-1-1)

=

1

2n-1-1

-

1

2n-1

，各项相加后容易证明．

解答：解：（1）对an+1=

2an

an+1

两边取倒数，得出

1

an+1

=

an+1

2an

=

1

2

•

1

an

+

1

2

，
两边减去1，化简并整理得出

1

an+1

-1=

1

2

•(

1

an

-1)，
所以数列{

1

an

-1}是等比数列，公比为

1

2

，首项为

1

a1

-1=-

1

2

，

1

an

-1=(-

1

2

)•(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n，a_n=

2n

2n-1

，
（2）证明：a_n（a_n-1）=

2n

(2n-1)2

n≥2时，a_n（a_n-1）=

2n

(2n-1)2

＜

2n

(2n-1) (2n-2)

=

2n-1

(2n-1) (2n-1-1)

=

1

2n-1-1

-

1

2n-1

所以a₁（a₁-1）+a₂（a₂-1）+…+a_n（a_n-1）＜

2

(2 -1)2

+（

1

2 -1

-

1

22-1

）+（

1

22 -1

-

1

23-1

）+…+（

1

2n-1-1

-

1

2n-1

）=2+1-

1

2n-1

=3-

1

2n-1

＜3
所以原不等式成立．

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及数列的递推关系，同时考查了计算能力，属于中档题．