Question

已知函数（a＞0且a≠1），若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），则x₁+x₂的值（ ）
A．恒小于2
B．恒大于2
C．恒等于2
D．与a相关

Answer 1

【答案】分析：根据已知中函数f（x）的解析式，令x₁≠x₂时，f（x₁）=f（x₂）=t，且-1＜x₁＜1＜x₂＜3，我们可将x₁与x₂的值均用含a，t的式子表达，进而根据指数函数的单调性，判断出x₁+x₂的值的范围．
解答：解：若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）=t，
不妨令-1＜x₁＜1＜x₂＜3，则-1＜2-x₂＜1
则log_a（x₁+1）=t，则x₁=a^t-1，
且log_a（3-x₂）+a-1=t，则x₂=3-a^t+1-a，
则x₁+x₂=2+（a^t-a^t+1-a）
由a＞0且a≠1，
当0＜a＜1时，y=a^x为减函数，且t＜t+1-a，则a^t＞a^t+1-a，此时x₁+x₂＞2；
当a＞1时，y=a^x为增函数，且t＞t+1-a，则a^t＞a^t+1-a，此时x₁+x₂＞2；
故x₁+x₂的值恒大于2
故选B
点评：本题考查的知识点是分段函数的解析式求法及其图象的作法，指数函数的单调性，其中分别将x₁与x₂的值均用含a，t的式子表达，是解答本题的关键．