Question

已知A={x|1≤x≤4}，B={x|x²-2ax+a+2≤0}，若要B⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据条件B⊆A，进行讨论，当B=∅时，成立，此时△＜0．当B不是空集时，利用函数结合根的分布进行求解．

解答：解：因为B⊆A，所以①当B=∅，即△=（2a）²-4（a+2）＜0，解得-1＜a＜2，此时满足条件．
②当B不是空集时，设f（x）=x²-2ax+a+2，要使B⊆A成立，
则函数f（x）=x²-2ax+a+2的零点在[1，4]之间，
所以由函数图象可知，

△≥0 f(1)≥0 f(4)≥0 1＜- -2a 2 ＜4

，即

a≥2或a≤-1 3-a≥0 18-7a≥0 1＜a＜4

，所以

a≥2或a≤-1 a≤3 a≤ 18 7 1＜a＜4

，
解得1＜a≤

18

7

．
综上：-1＜a≤

18

7

．
即实数a的取值范围是：-1＜a≤

18

7

．

点评：本题较为复杂，主要考查集合间的包含关系，解题过程中用到了函数根的位置关系．