Question

已知{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₅=45，a₂+a₆=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：

b1

2

+

b2

22

+…+

bn

2n

=an+1（n∈N*），求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，则依题设d＞0．运用已知条件列方程组可求a₁，d，从而可得a_n；
（Ⅱ）设c_n=

bn

2n

，则c₁+c₂+…+c_n=a_n+1，易求c_n，进而可得b_n，由等比数列的求和公式可求得结果；

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，则依题设d＞0．
由a₂+a₆=14，可得a₄=7．
由a₃a₅=45，得（7-d）（7+d）=45，可得d=2．
∴a₁=7-3d=1．
可得a_n=2n-1．
（Ⅱ）设c_n=

bn

2n

，则c₁+c₂+…+c_n=a_n+1，
即c₁+c₂+…+c_n=2n，
可得c₁=2，且c₁+c₂+…+c_n+c_n+1=2（n+1）．
∴c_n+1=2，可知c_n=2（n∈N*）．
∴b_n=2ⁿ⁺¹，
∴数列{b_n}是首项为4，公比为2的等比数列．
∴前n项和S_n=

4(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺²-4．

点评：本题考查等差数列的通项公式及数列求和，考查学生的运算求解能力．