Question

已知数列｛a_n｝满足a₁＝1，且a₁，a₂－a₁，a₃－a₂，…，a_n－a_n1是公比为2的等比数列．数列｛b_n｝的前n项的和为B_n＝．若T_n＝，试判断与T_n的大小，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解析：因为a1＝1，a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an+1是公比为2的等比数列，则an－an+1＝2n+1． 　　a2－a1＝2，a3－a2＝22，…an－an+1＝2n+1，将以上各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n+1，即an＝1＋2＋22＋…＋2n+1＝2n－1，所以＝． 　　又bn＝Bn－Bn－1＝－＝n(n≥2)，当n＝1时．b1＝B1＝1，故bn＝n(n∈N*)． 　　得Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋－＝1－＝． 　　因此要比较与Tn的大小．只要比较与的大小即可． 　　当n＝1时，＝，＝，则＜ 　　当n＝2时，＝，＝，则＜ 　　当n＝3时，＝，＝，则＞ 　　当n＝4时，＝，＝，则＞．所以n＝1，2时，＜． 　　猜想：n≥3，且n∈N*时，＞． 　　证明如下：要证命题成立，只要证(2n－1)(n＋1)＞n(2n＋1)，即证2n＞2n＋1，即证(1＋1)n＞2n＋1， 　　即证＋＋＋…＋＋＞2n＋1 　　即证…＋＋1＞0(当n≥3) 　　以上各步可逆，所以命题成立． 　　点评：本题是数列与不等式综合题，在比较大小时采用了先猜想，然后用二项式定理展开式采用分析法来证明不等式．