Question

若f（x）满足f（-x）=-f（x），且在（-∞，0）上是增函数，又f（-2）=0，则xf（x）＜0的解集是（　　）

A．（-2，0）∪（0，2）

B．（-∞，-2）∪（0，2）

C．（-∞，-2）∪（2，+∞）

D．（-2，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析：由于本题是一个奇函数且在区间（-∞，0）上是单调增函数，又f（-2）=0，可以得出函数的图象特征．由图象特征求解本题中的不等式的解集即可．

解答：解：：∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数，且在区间（-∞，0）上是单调增函数，又f（-2）=0，
∴f（2）=0，且当x＜-2或0＜x＜2时，函数图象在x轴下方，当x＞2与-2＜x＜0时函数图象在x轴上方
∴xf（x）＜0的解集为（-2，0）∪（0，2）
故选A

点评：本题考点是函数的奇偶性与单调性的综合，考查根据函数的性质推测出函数图象的特征，利用函数图象的特征解不等式，由此特征结合函数的图象不难得出不等式的解集．由此可以看出求解本题的关键是把函数图象特征研究清楚，以形助数．