Question

已知左焦点为的椭圆过点．过点分别作斜率为的椭圆的动弦，设分别为线段的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为线段的中点，求；
（3）若，求证直线恒过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

（1）；（2）；（3）证明过程详见解析，.

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、直线的斜率、中点坐标等基础知识，考查数形结合思想，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，先利用左焦点坐标得右焦点坐标，然后利用定义，求得，而，得，得出结论，椭圆为；（2）先将点坐标代入椭圆，两者作差得，而代入得，利用韦达定理求，同理求，用坐标求，用点和点斜式写出直线方程，利用化简，可分析过定点.
试题解析：（1）由题意知设右焦点
       2分

椭圆方程为         4分
（2）设 则  ①  ②      6分
② ①，可得                       8分
（3）由题意，设
直线，即 代入椭圆方程并化简得

                             10分
同理                         11分
当时， 直线的斜率
直线的方程为
 又 化简得 此时直线过定点（0，）   13分
当时，直线即为轴，也过点（0，）
综上，直线过定点.                                     14分