Question

（04年全国卷Ⅱ理）(12分)

数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁＝1，a_n＋1＝S_n（n＝1，2，3，…）．证明：

(Ⅰ)数列{}是等比数列；

(Ⅱ)S_n＋1＝4a_n．

Answer 1

解析：（I）证： 由a₁=1,a_n+1=S_n(n=1,2,3，…)，

知a₂=S₁=3a₁,, ,∴

又a_n+1=S_n+1-S_n(n=1,2,3，…),则S_n+1-S_n=S_n(n=1,2,3，…)，∴nS_n+1=2(n+1)S_n, (n=1,2,3，…).故数列{}是首项为1，公比为2的等比数列

（II）解：由（I）知，，于是S_n+1=4(n+1)?=4a_n(n)

又a₂=3S₁=3,则S₂=a₁+a₂=4=4a₁,因此对于任意正整数n≥1都有S_n+1=4a_n.