Question

已知点P（2，-3），Q（3，2），直线l：（2-a）x-（1+2a）y+（1+2a）=0（a∈R）；
（1）求当直线l与直线PQ平行时实数a的值；
（2）求直线l所过的定点（与a的值无关的点）M的坐标；
（3）直线l与线段PQ（包含端点）相交，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）若直线l与直线PQ平行，则直线PQ与l的斜率相等．因此利用经过两点的直线斜率公式和直线方程的斜截式，建立关于a的等式，解之可得a=-

3

11

；
（2）将直线l方程整理得（2x-y+1）+a（-x-2y+2）=0，说明它经过直线2x-y+1=0与直线-x-2y+2=0的交点，联解直线方程可得经过的定点M的坐标；
（3）记直线l方程的左边对应的二元函数为F（x，y），由题意可得F（2，-3）与F（3，2）的值一正一负或其中一个为0，由此建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵点P（2，-3）、Q（3，2），∴直线PQ的斜率k=

-3-2

2-3

=5，
当直线l与直线PQ平行时，直线l的斜率与PQ的斜率相等，
即

2-a

1+2a

=5，解之得a=-

3

11

；
（2）直线l：（2-a）x-（1+2a）y+（1+2a）=0，整理得（2x-y+1）+a（-x-2y+2）=0，
由此可得直线l经过直线2x-y+1=0与-x-2y+2=0的交点．
联解

2x-y+1=0 -x-2y+2=0

，得x=0且y=1，
∴直线l所过的定点M的坐标为（0，1）；
（3）记F（x，y）=（2-a）x-（1+2a）y+（1+2a），
∵直线l与线段PQ（包含端点）相交，
∴P、Q两点在直线l的两旁，或其中有一点在直线l上，
可得F（2，-3）•F（3，2）≤0，
即[2（2-a）+3（1+2a）+（1+2a）][3（2-a）-2（1+2a）+（1+2a）]≤0，
化简得（6a+8）（-5a+5）≤0，解之得a≤-

4

3

或a≥1，
即当直线l与线段PQ（包含端点）相交时，实数a的取值范围是（-∞，-

4

3

]∪[1，+∞）．

点评：本题给出含有参数的直线方程与两个定点坐标，求满足特定条件时参数a的值或范围．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系和不等式的解法等知识，属于中档题．