Question

已知矩阵M=

2  a 2  b

的两个特征值分别为λ₁=-1和λ₂=4，
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若直线l在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程为x-2y-3=0，求直线l的方程．

Answer 1

考点：矩阵特征值的定义

专题：矩阵和变换

分析：（Ⅰ）根据矩阵M的两个特征值分别为λ₁=-1和λ₂=4，代入特征多项式，求出a、b的值即可；
（Ⅱ）确定变换前后坐标之间的关系，利用直线l′：x-2y-3=0，求出直线l的方程即可．

解答：解：（Ⅰ）矩阵M的特征多项式f（λ）=

.

λ-2 -a -2 λ-b

.

=（λ-2）（λ-b）-2a，
又∵矩阵M的两个特征值分别为λ₁=-1和λ₂=4，
∴f（-1）=0，f（4）=0，
∴

2a-3b=3 a+b=4

，
解得a=3，b=1；
（Ⅱ）设P（x，y）是直线l上任意一点，它在矩阵M对应的变换下变为点P′（x′，y′），
则

2 3 2 1

 

x y

=

x′ y′

，
即

2x+3y=x′ 2x+y=y′

；
∵点P′（x′，y′）在直线l′：x-2y-3=0上，
∴x′-2y′-3=0，
把x′，y′代人得：2x-y+3=0．
故所求直线l的方程为：2x-y+3=0．

点评：本题主要考查了特征值与特征向量的计算，考查了矩阵变换的运用，属于基础题．