Question

已知{a_n}是各项均为正数的等差数列，lga₁、lga₂、lga₄成等差数列．又bn=

1

a2n

，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）如果数列{b_n}前3项的和等于

7

24

，求数列{a_n}的首项a₁和公差d．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设{a_n}中首项为a₁，公差为d．lga₁，lga₂，lga₄成等差数列，把₁1和d代入求得d，进而分别当d=0，整理可得 b_n+1•b_n=1，进而判断出{b_n}为等比数列；进而讨论d=a₁时，整理即可判断出{b_n}为等比数列．
（Ⅱ）把第一问所求结论分别代入即可求出数列{a_n}的首项a₁和公差d．

解答：解：（Ⅰ）证明：设{a_n}中首项为a₁，公差为d．
∵lga₁，lga₂，lga₄成等差数列∴2lga₂=lga₁+lga₄
∴a₂²=a₁•a₄．
即（a₁+d）²=a₁（a₁+3d）∴d=0或d=a₁．
当d=0时，a_n=a₁，b_n=

1

a2n

=

1

a1

，∴

bn+1

bn

=1，∴{b_n}为等比数列；
当d=a₁时，a_n=na₁，b_n=

1

a2n

=

1

2na1

，∴

bn+1

bn

=

1

2

，∴{b_n}为等比数列．
综上可知{b_n}为等比数列．
（Ⅱ）当d=0时，s3=b1+b2+b3=

3

a1

=

7

24

，所以a₁=

72

7

；
当d=a₁时，S3=

1

21•a1

+

1

22•a1

+

1

23•a1

=

7

24

，
所以

7

8a1

=

7

24

，故a₁=3=d．
综上可知

a1= 72 7 d=0

或

a1=3 d=3

．

点评：本题主要考查等差数列与等比数列的综合以及分类讨论思想的应用，涉及数列的公式多，复杂多样，故应多下点功夫记忆．