Question

（12分）如图所示，四棱锥中，，，，

为的中点。

（I）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的正弦值。

Answer 1

解析:（I）证明：取的中点，连结和，

则又，

四边形为平行四边形，

又平面，平面

 平面

（Ⅱ）以为原点，以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

如图，则（0，0，0），B（0，1，0），C（2，2，0），D（2，0，0），

E（1，0，1），M（1，1，1），P（0，0，2），设直线与平面所成的角为，

      是中点， 

           面，  

      面即为面的法向量，

     

      。

      

（Ⅲ）设二面角的平面角为，平面的法向量为=（），

     则  

        不妨设则

      为平面的法向量，且

     

      

解法二：（I）同上；

（Ⅱ）连结，，是中点，。

      面 

      面

      就是直线与平面所成的角。

     

（Ⅲ）连结，取的中点，连结，过点作于连结，

     是的中点，是的中点，且

      面    又   

     就是二面角的平面角，设为。

     在中，