Question

给出下面四个命题：①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是：直线a、b不相交；②“直线l垂直于平面α内所有直线”的充要条件是：l⊥平面α；③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a垂直于b在平面α内的射影”；④“直线α∥平面β”的必要非充分条件是“直线a至少平行于平面β内的一条直线”．其中正确命题的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

【答案】分析：根据平面与平面之间的位置关系及空间中直线与平面之间的位置关系，我们逐一对已知中的四个命题中进行判断，结合充要条件的定义，即可得到结论．
解答：解：“直线a、b为异面直线”⇒“直线a、b不相交”为真命题，
“直线a、b不相交”⇒“直线a、b为异面直线”为假命题
故：“直线a、b为异面直线”的必要不充分条件是：直线a、b不相交，即①错误；
根据线面垂直的定义，我们易得②正确；
“直线a⊥b”⇒“a垂直于b在平面α内的射影”为假命题
“a垂直于b在平面α内的射影”⇒“直线a⊥b”也为假命题，
故“直线a⊥b”的不充分也不必要条件是“a垂直于b在平面α内的射影”，即③错误
“直线α∥平面β”⇒“直线a至少平行于平面β内的一条直线”为真命题
但“直线a至少平行于平面β内的一条直线”⇒“直线α∥平面β”为假命题，
故“直线α∥平面β”的必要非充分条件是“直线a至少平行于平面β内的一条直线”，即④正确
故选B
点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．