Question

(2005福建，20)如下图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

(1)求证AE⊥平面BCE；

(2)求二面角B—AC—E的大小；

(3)求点D到平面ACE的距离．

Answer 1

答案：略
解析：

解析(1)∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE．∵二面角D—AB—E为直二面角，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE，∴CB⊥AE，∴AE⊥平面BCE． (2)以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，如下图．因为AE⊥面BCE，BE面BCE，所以AE⊥BE，在Rt△AEB中，AB=2，O为AB的中点，故OE=1．于是A(0，－l，0)，E(1，0，0)，C(0，1，2)． ，．设平面AEC的一个法向量为n=(x，y，z)，则即 解得令y=－1，得n=(1，－1，1)是平面AEC的一个法向量．又平面BAC的一个法向量为m=(1，0，0)， 故． ∴二面角B—AC—E的大小为． (3)∵AD∥z轴，AD=2，故． ∴点D到平面ACE的距离 ．

提示：

剖析：1．在平面BCE内寻找两条相交直线都与AE垂直，结合题设可知，BF和BC即是． 2．找二面角B—AC—E的平面角． ∵BF⊥平面AEC，只需作BG⊥AC于G，连FG即可；而ABCD为正方形，所以G为AC和BD的交点． 3．用体积法较方便．