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如图,已知边长为2的正五边形ABCDE内接于⊙O,AB、DC的延长线交于点F,过点E作EG∥CB交BA的延长线于点G.

(1)求证:AB2=AG·BF;

(2)证明EG与⊙O相切,并求AG、BF的长.

思路解析:由正五边形的特征,易得到△EAG∽△FBC;连结EF,易证EF⊥EG,再用切割线定理完成计算.

证明:(1)易证五边形ABCDE的外角∠FCB=∠EAG=∠FBC,

∵EG∥CB,∴∠G=∠FBC.

∴△EAG∽△FBC.

,即BC·AE=AG·BF.

又∵BC=AE=AB,

∴AB2=AG·BF.              ①

(2)连结EF,由(1)可知FB=FC,即△FBC为等腰三角形,易知BA=CD,

∴FA=FD.

∴EF⊥BC且EF平分BC.

∴EF过圆心O.

又∵EG∥CB,∴EF⊥EG.

∴EG与⊙O相切.

∴EG2=AG·BG.

由(1)可知∠G=∠EAG,

∴EG=EA=2.

设AG=x,则22=x(x+2).解得x=-1.

∴AG=-1.代入①中可得BF=+1.

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