Question

16．若实数a，b，c满足2^a+4^b=2^c，4^a+2^b=4^c，求c的最小值．

Answer 1

分析 利用消元法消去2^a，结合三个数的基本不等式进行求解即可．

解答 解：∵2^a+4^b=2^c，
∴2^a=2^c-4^b，
∵4^a+2^b=4^c，
∴（2^c-4^b）²+2^b=4^c，
整理得${2}^{c+1}=\frac{{2}^{b}+{4}^{2b}}{{4}^{b}}$=$\frac{1}{{2}^{b}}+{2}^{2b}$=$\frac{1}{{2}^{b+1}}+\frac{1}{{2}^{b+1}}+{2}^{2b}$$≥3\root{3}{\frac{1}{{2}^{b+1}}•\frac{1}{{2}^{b+1}}•{2}^{2b}}$=$\frac{3\root{3}{2}}{2}$，
于是c≥log₂$\frac{3\root{3}{2}}{2}$-1=log₂3-$\frac{5}{3}$，
当b=-$\frac{1}{3}$，a=-$\frac{5}{3}$时，c=log₂3-$\frac{5}{3}$，
即c的最小值为log₂3-$\frac{5}{3}$．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，结合对数的运算法则是解决本题的关键．