Question

15．已知直线y=$\sqrt{3}$（x-2）与抛物线C：y²=8x相交于A，B两点，点F为C的焦点，若$\overrightarrow{AF}$=$λ\overrightarrow{FB}$（|$\overrightarrow{AF}$|＞|$\overrightarrow{FB}$|）则λ=3．

Answer 1

分析 设出A，B的坐标，利用向量条件，可得λ=-$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$，联立直线方程与抛物线方程，解得答案．

解答 解：根据题意设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{AF}$=$λ\overrightarrow{FB}$（|$\overrightarrow{AF}$|＞|$\overrightarrow{FB}$|），可得y₁＞y₂，
且（2-x₁，-y₁）=λ（x₂-2，y₂），故-y₁=λy₂，
∴λ=-$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$，
联立直线与抛物线方程，$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3}（x-2）\\{y}^{2}=8x\end{array}\right.$，消元得：y²-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$y-16=0，
解得：y₁=$4\sqrt{3}$，y₂=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴λ=3．
故答案为：3

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．