Question

若对一切非零实数，已知函数y=f（x）（x≠0），满足f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1），f（-1），
（2）判断函数y=f（x）的奇偶性；
（3）若y=f（x），在（0，+∞）上是增函数，且满足，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=y=1，可求得f（1），再令x=-1，y=-1可求得f（-1）；
（2）令y=-1，代入f（xy）=f（x）+f（y），结合（1）的结论，即可判断函数y=f（x）的奇偶性；
（3）依题意，将已知关系式逆用f（xy）=f（x）+f（y），结合（2）中函数y=f（x）的奇偶性与在（0，+∞）上是增函数，即可求得x的取值范围．
解答：解：（1）∵函数y=f（x）（x≠0），满足f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1得：f（1）=2f（1），故f（1）=0；
再令x=y=-1得：f（1）=2f（-1）=0，故f（-1）=0；
（2）令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
故f（x）是偶函数；
（3）∵f（x）+f（x-）=f[x（x-）]≤0，偶函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（-1）=f（1）=0，
∴|x（x-）|≤1，
∴-1≤x（x-）≤1，
∴，①的解集为R，
解②得≤x≤，又x≠0．
∴x的取值范围为：[，0）∪（0，]．
点评：本题考查抽象函数及其应用，考查函数奇偶性与单调性的综合，突出考查赋值法的应用，考查推理与运算能力，属于中档题．