Question

已知两数列{a_n}，{b_n}（其中b_n＞0，且b_n≠1），满足且
（I）求证：a_n＞b_n
（II）求证：数列{a_n}的单调递减且．

Answer 1

证明：（I）先证b_n＞1．∵b_n＞0，b_n≠1，∴=1，又，∴b_n＞1．
再证a_n＞b_n．①；
②假设m=k时命题成立，即a_k＞b_k＞1，
则a_k+1-b_k+1=＞=0．
∴a_k+1＞b_k+1
所以n+k+1时命题也成立．
综合①②可得a_k＞b_k．
（II）a_n+1-a_n==，
∵b_n＜a_n，∴，a_n＞1，∴a_n+1-a_n＜0．
故数列{a_n}单调递减．
∵，
∴…＜．
又a₁-1=1，∴，
即．
分析：（I）先证b_n＞1．由b_n＞0，b_n≠1，利用基本不等式的性质即可得到；再利用数学归纳法证明a_n＞b_n即可；
（II）通过作差并利用（I）的结论即可证明单调性，再利用放缩法即可证明．
点评：熟练掌握基本不等式的性质、数学归纳法、作差法、放缩法是解题的关键．注意利用已经证明的结论．