Question

（1992•云南）证明不等式1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

（n∈N^*）

Answer 1

分析：证法一：利用数学归纳法证明（1）当n=1时，验证不等式成立；（2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，然后证明当n=k+1时，不等式也成立．即可．
证法二：构造函数f（n）=2

n

-(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)，通过函数单调性定义证明f（k+1）＞f（k）
然后推出结论．

解答：证法一：（1）当n=1时，不等式左端=1，右端=2，所以不等式成立；
（2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＜2

k

，
则

1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 k+1 ＜2 k + 1 k+1

= 2 k(k+1) +1 k+1 ＜ k+(k+1)+1 k+1 =2 k+1 ，

∴当n=k+1时，不等式也成立．
综合（1）、（2）得：当n∈N^*时，都有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

．
证法二：设f（n）=2

n

-(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)，
那么对任意k∈N?^* 都有：

f(k+1)-f(k)=2( k+1 - k )- 1 k+1

= 1 k+1 [2(k+1)-2 k(k+1) -1]

= 1 k+1 •[(k+1)-2 k(k+1) +k]= ( k+1 - k )2 k+1 ＞0

∴f（k+1）＞f（k）
因此，对任意n∈N^* 都有f（n）＞f（n-1）＞…＞f（1）=1＞0，
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

．

点评：本题考查数学归纳法证明不等式的应用，构造法与函数的单调性的应用，考查逻辑推理能力，计算能力以及转化思想．