Question

已知函数f(x)＝－x³＋x²－2x(a∈R)．

(1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若对于任意x∈[1，＋∞)都有(x)＜2(a－1)成立，求实数a的取值范围；

(3)若过点(0，－)可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)当时，，得；1分 　　因为， 　　所以当时，，函数单调递增； 　　当或时，，函数单调递减． 　　所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．3分 　　(2)方法1：由，得， 　　因为对于任意都有成立， 　　即对于任意都有成立， 　　即对于任意都有成立，4分 　　令， 　　要使对任意都有成立， 　　必须满足或；5分 　　即或；6分 　　所以实数的取值范围为．7分 　　方法2：由，得， 　　因为对于任意都有成立， 　　所以问题转化为，对于任意都有；4分 　　因为，其图象开口向下，对称轴为． 　　①当时，即时，在上单调递减， 　　所以， 　　由，得，此时；5分 　　②当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以，由，得，此时；6分 　　综上①②可得，实数的取值范围为；7分 　　(3)设点是函数图象上的切点， 　　则过点的切线的斜率为，8分 　　所以过点的切线方程为；9分 　　因为点在切线上， 　　所以， 　　即；10分 　　若过点可作函数图象的三条不同切线， 　　则方程有三个不同的实数解．11分 　　令，则函数与轴有三个不同的交点． 　　令，解得或．12分 　　因为，， 　　所以必须，即；13分 　　所以实数的取值范围为；14分