Question

【题目】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．

（1）若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
（2）求证：AD⊥PB．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结PG，

由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．

又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．

又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD．

又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．

（2）解：由（1）可知BG⊥AD，PG⊥AD．

所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB．

【解析】(1)结合已知条件利用正三角形的特点即可得到线线垂直，再由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直进而得到线线垂直然后由菱形的特点得出线线垂直进而得到线面垂直。(2)根据(1)的结论即可得到线线垂直再由线面垂直的判定定理即可得证。
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定和直线与平面垂直的性质是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；垂直于同一个平面的两条直线平行．