Question

设函数f(x)的定义域为R，若|f(x)|≤|x|对任意的实数x均成立，则称函数f(x)为Ω函数．

(Ⅰ)求证：若函数f(x)为Ω函数，则f(0)=0；

(Ⅱ)试判断函数f₁(x)=xsinx、f₂(x)=和f₃(x)=中哪些是Ω函数，并说明理由；

(Ⅲ)若f(x)是奇函数且是定义在R上的可导函数，函数f(x)的导数f′(x)满足|f′(x)|＜1，试判断函数f(x)是否为Ω函数，并说明理由．

Answer 1

答案：解：(Ⅰ)∵函数f(x)的定义域为R，且|f(x)|≤|x|，

∴|f(0)|≤0，又|f(0)|≥0，∴f(0)=0． 

(Ⅱ)∵|x||sinx|≤|x|，

∴f₁(x)=xsinx是Ω函数；

∵f₂(0)=＞0

∴f₂(x)=不是Ω函数；

∵=|x|，

∴f₃(x)=是Ω函数．

(Ⅲ)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(0)=0

∵|f′(x)|＜1，∴-1＜f′(x)＜1．

当x≥0时，

设函数F(x)=f(x)-x，和G(x)=f(x)+x．

∴F′(x)=f′(x)-1＜0，G′(x)=f′(x)+1＞0．

∴F(x)=f(x)-x在[0，+∞)上是减函数，

G(x)=f(x)+x在[0，+∞)上是增函数．

∴F(x)=f(x)-x≤F(0)=0，

G(x)=f(x)+x≥G(0)=0．

∴-x≤f(x)≤x．

∴当x≥0时，|f(x)|≤|x|成立．

当x＜0时，-x＞0，∴|f(-x)|＜|-x|，

∵f(x)为奇函数，∴|-f(x)|＜|-x|，

即|f(x)|＜|x|成立．

∴当x∈R时，|f(x)|≤|x|对任意的实数x均成立．故函数f(x)是Ω函数．