Question

设f（x）为定义在R上的增函数，令g（x）=f（x）-f（2014-x）．
（1）求证：g（x）+g（2014-x）是定值．
（2）判断g（x）在R上的单调性，并证明．
（3）若g（x₁）+g（x₂）＞0，求证：x₁+x₂＞2014．

Answer 1

分析：（1）由条件可得g（2014-x）=f（2014-x）-f（x），从而得到g（x）+g（2014-x）=0，为定值．
（2）任取实数x₁＜x₂，求得g（x₁）-g（x₂）=[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2014-x₂）-f（2014-x₁）]．再由f（x）是R上的增函数，可得g（x₁）-g（x₂）＜0，故g（x）在R上是单调递增函数．
（3）由（1）得 g（x₁）+g（x₂）=g（x₁）-g（2014-x₂）＞0，可得g（x₁）＞g（2014-x₂）．再根据g（x）在R上是单调递增函数，证得结论．

解答：解：（1）∵g（x）=f（x）-f（2014-x），∴g（2014-x）=f（2014-x）-f（x），
故 g（x）+g（2014-x）=0，为定值．
（2）任取实数x₁＜x₂，则g（x₁）-g（x₂）=f（x₁）-f（2014-x₁）-f（x₂）+f（2014-x₂）=[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2014-x₂）-f（2014-x₁）]．
由题设可得2014-x₂＜2014-x₁，又f（x）是R上的增函数，故f（x₁）＜f（x₂），f（2014-x₂）＜f（2014-x₁），
即g（x₁）-g（x₂）＜0，故g（x）在R上是单调递增函数．
（3）由（1）得g（x₂）=-g（2014-x₂），
∴g（x₁）+g（x₂）=g（x₁）-g（2014-x₂）＞0，
∴g（x₁）＞g（2014-x₂），又g（x）在R上是单调递增函数，
∴x₁＞2014-x₂，即 x₁+x₂＞2014．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数的单调性的性质，属于中档题．