Question

若无穷等比数列{a_n}的前n项和为S_n，其各项和为S．又S=S_n+2a_n，则数列{a_n}的公比为

2

3

．

Answer 1

分析：设等比数列的首项为a₁，公比为q，则由等比数列的各项和存在可知q≠1，由等比数列的求和公式及通项公式可得，S_n=

a1(1-qn)

1-q

，an=a1qn-1，S=

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

a1(1-qn)

1-q

=

a1

1-q

，代入可求q

解答：解：设等比数列的首项为a₁，公比为q
则由等比数列的各项和存在可知q≠1
S_n=

a1(1-qn)

1-q

，an=a1qn-1
S=

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

a1(1-qn)

1-q

=

a1

1-q

∴

a1

1-q

=

a1(1- qn)

1-q

+2a1qn-1
∴q=

2

3

故答案为：

2

3

点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的应用，等比数列的和存在极限的条件的综合应用．