Question

某养殖厂规定：饲料用完的第二天方可购买饲料，并且每批饲料可供n（n∈Z^*）天使用．已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管费为平均每公斤每天0.03元（当天用掉的饲料不计保管费用），购买饲料每次支付运费300元．
（1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；
（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少5吨时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）．问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）我们设该厂应隔n（n∈N₊）天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y₁元，由已知中该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管费为平均每公斤每天0.03元（当天用掉的饲料不计保管费用），购买饲料每次支付运费300元．我们求出y₁的解析式，然后利用基本不等式，即可求出y₁取最小值时的n值；
（2）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔n天（n≥25）购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y₂元，我们计算y₂的解析式，进而根据基本不等式求出y₂的最小值，与（1）中所得y₁的最小值比较后，即可得到结论．

解答：解：（1）设该厂应隔n（n∈N₊）天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y₁元…（1分）
∵饲料的保管费用每天比前一天少200×0.03=6（元），
∴x天饲料的保管费用共是6（n-1）+6（n-2）+…+6=3n²-3n…（2分）
从而有y1=

1

n

(3n2-3n+300)+200×1.8…（3分）=

300

n

+3n+357≥417…（5分）
当且仅当

300

n

=3n，即n=10时，y₁有最小值417  …（6分）
即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小．
（2）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔n天（n≥25）购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y₂元，则y2=

1

n

(3n2-3n+300)+200×1.8×0.85=

300

n

+3n+303(x≥25)…（8分）
∵y2′=-

300

n2

+3
∴当x≥25时，y₂^′＞0，即函数y₂在[25，+∞）上是增函数…（10分）
∴当x=25时，y₂取得最小值390
∵390＜417，故该厂应该利用此优惠条件    …（12分）

点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中根据条件求出函数的解析式，即为一个实际问题建立一个数学模型，是解答应用题的关键．