Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，，，，，平面，点在棱上.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析;（2）

【解析】

（1）根据已知条件及正弦定理求得,即可知,即,再由,可证明平面,进而由平面与平面垂直的判定定理证明平面平面;

（2）作,连接,根据线段关系可求得的三边长,由余弦定理求得,进而由同角三角函数关系式求得,即可求得.根据等体积法,即可求得点到平面的距离,即可由线面夹角的求法求得直线与平面所成角的正弦值.

（1）证明: 四棱锥中,,,,

由正弦定理可得,代入可得

所以

所以

则

所以

因为四棱锥中,平面

所以,且

所以平面

由因为平面

由平面与平面垂直的判定定理可得平面平面

（2）作,连接,如下图所示:

在四棱锥中,,,

由,可知

由平面,可得平面

因为,所以平面

可得

所以,则四边形为矩形.

所以,

由（1）可得

由平面,可得

所以

则在中,,,

由余弦定理可知

代入可得

所以由同角三角函数关系式可得

所以

设点到平面的距离为

由

则

所以

设直线与平面所成角为,

则直线与平面所成角的正弦值