Question

如图，简单组合体ABCDPE，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC．
（1）若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB；
（2）若=，求平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的大小．

Answer 1

（1）证明：连接AC与BD交于点F，连接NF，
∵F为BD的中点，∴NF∥PD且NF=PD．
又EC∥PD，且EC=PD，（2分）
∴NF∥EC，且NF=EC，
∴四边形NFCE为平行四边形，
∴NE∥FC．（4分）
∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC?面ABCD，∴AC⊥PD．
又PD∩BD=D，∴AC⊥面PBD，∴NE⊥面PDB．（6分）
（2）解：连接DN，由（1）知NE⊥面PDB，∴DN⊥NE．
延长PE与DC的延长线交于点G，连接GB，
则GB为平面PBE与平面ABCD的交线．（8分）
∵PD=2EC，∴CD=CG=CB，
∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上，
∴DB⊥BG．（9分）
∵PD⊥平面ABCD，BG?面ABCD，
∴PD⊥BG，且PD∩DB=D，∴BG⊥面PDB．
∵PB?面PDB，∴BG⊥PB，
∴∠PBD为平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的平面角．（10分）
在Rt△PDB中，∵PD=DB，
∴∠PBD=45°，
即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°．（12分）
分析：（1）连接AC与BD交于点F，连接NF，由F为BD的中点，知NF∥PD且NF=PD．由EC∥PD，且EC=PD，知四边形NFCE为平行四边形，由此能证明NE⊥面PDB．
（2）连接DN，由（1）知NE⊥面PDB，DN⊥NE． 延长PE与DC的延长线交于点G，连接GB，则GB为平面PBE与平面ABCD的交线．由PD=2EC，知CD=CG=CB，知D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上，DB⊥BG，由此能够求出平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的大小．
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查平面与平面所成的锐二面角大小的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．