Question

若x，y∈R，且f（x+y）=f（x）+f（y），则函数f（x）

1. A.
   f（0）=0且f（x）为奇函数
2. B.
   f（0）=0且f（x）为偶函数
3. C.
   f（x）为增函数且为奇函数
4. D.
   f（x）为增函数且为偶函数

Answer 1

A
分析：根据已知中对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，得f（0）=0，令y=-x，结合函数奇偶性的定义，即可得到结论．
解答：∵对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0得，f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），∴f（0）=0
令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x）=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数．
故选A．
点评：本题考查函数的奇偶性，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．