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    （满分14分）设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E．

       （1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；

       （2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且（O为坐标原点）,并求出该圆的方程；

       （3）已知,设直线与圆C:（1<R<2）相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值．

    （1）略   （2）      （3）


    解析:

    （1）因为,,,所以,即．当m=0时,方程表示两直线,方程为；[来源:Z]当时, 方程表示的是圆；当且时,方程表示的是椭圆；当时,方程表示的是双曲线．

       （2）当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,

    要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

    则使△=,

    即,即,     且

    ,

    要使,   需使,即,

    所以,  即且,  即恒成立．

    所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,, 所求的圆为．

    当切线的斜率不存在时,切线为,与

    交于点或也满足．

    综上, 存在圆心在原点的圆，

    使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且．

       （3）当时,轨迹E的方程为,

    设直线的方程为,因为直线与圆C:（1<R<2）相切于A1,

    由（2）知,  即    ①,

    因为与轨迹E只有一个公共点B1,由（2）知得,[来源:学科网]

    即有唯一解，

    则△=,   

    即,     ②

    由①②得,   此时A,B重合为B1（x1,y1）点,    

    由 中,所以,,

    B1（x1,y1）点在椭圆上,所以,所以,

    在直角三角形OA1B1中,

    因为当且仅当时取等号,所以,

    即当时|A1B1|取得最大值,最大值为1．

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