Question

设a为实数，函数f(x)=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

的最大值为g（a）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）设t=

1+x

+

1-x

，把函数f（x）表示为t的函数h（t），并写出定义域；
（3）求g（a），并求当a＞-

1

2

时满足g(a)=g(

1

a

)的实数a的取值集合．

Answer 1

分析：（1）由题意得

1-x2≥0 1+x≥0 1-x≥0

，解不等式组可求函数f（x）的定义域
（2）由t=

1+x

+

1-x

平方得t2=2+2

1-x2

．结合x∈[-1，1]可求t的取值范围，由

1-x2

=

1

2

t2-1可求h（t）
（3）由题意知g（a）即为函数h(t)=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]的最大值．注意到直线t=-

1

a

是抛物线h(t)=

1

2

at2+t-a的对称轴，分以下几种情况讨论：
①当a＞0时②当a=0时，③当a＜0可分别结合二次函数的性质可求g（a），然后代入g(a)=g(

1

a

)的所有实数a的取值集合

解答：解：（1）由题意得

1-x2≥0 1+x≥0 1-x≥0

得

-1≤x≤1 x≥-1 x≤1

∴函数f（x）的定义域为[-1，1]．（4分）
（2）由t=

1+x

+

1-x

平方得t2=2+2

1-x2

．由x∈[-1，1]得，t²∈[2，4]，
所以t的取值范围是[

2

，2]．
又

1-x2

=

1

2

t2-1，∴h(t)=a(

1

2

t2-1)+t．
即h(t)=

1

2

at2+t-a，定义域为[

2

，2]．（8分）
（3）由题意知g（a）即为函数h(t)=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]的最大值．
注意到直线t=-

1

a

是抛物线h(t)=

1

2

at2+t-a的对称轴，分以下几种情况讨论：
①当a＞0时，函数y=h(t)，t∈[

2

，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，
由t=-

1

a

＜0知y=h（t）在[

2

，2]上单调递增，∴g（a）=h（2）=a+2．
②当a=0时，h（t）=t，t∈[

2

，2]，∴g（a）=h（2）=2．
③当a＜0时，函数y=h(t)，t∈[

2

，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，t=-

1

a

＞0．
a若t=-

1

a

∈(0，

2

)，即a＜-

2

2

时，则g(a)=h(

2

)=

2

；
b若t=-

1

a

∈[

2

，2]，即-

2

2

≤a≤-

1

2

时，则g(a)=h(-

1

a

)=-a-

1

2a

；
c若t=-

1

a

∈(2，+∞)，即-

1

2

＜a＜0时，则g（a）=h（2）=a+2；
综上有g(a)=

a+2         a＞- 1 2 -a- 1 2a      - 2 2 ≤a≤- 1 2 2              a＜- 2 2

．（14分）
当a＞0时，

1

a

＞0，g(

1

a

)=

1

a

+2，由g(a)=g(

1

a

)得，a+2=

1

a

+2，a=±1．∴a=1．
当-

1

2

＜a＜0时，

1

a

＜-2，此时g(a)=a+2，g(

1

a

)=

2

，由a+2=

2

解得a=

2

-2与a＞-

1

2

矛盾．
∴满足g(a)=g(

1

a

)的所有实数a的取值集合是：{1}．（18分）

点评：本题主要考查了函数的定义域的求解及利用换元求解函数的值域，解答本题的 难点在于二次函数在闭区间上的最值求解的应用，本题具有一定的综合性．