Question

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=a^x-x．
（1）求函数y=f（x）的极值点；
（2）对x∈R使f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,分类讨论,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出导数，讨论0＜a＜1，a＞1，求得单调性，进而确定极值；
（2）分析0＜a＜1时，a^x≥x在R上不可能恒成立，则a＞1，由（1）可得，f（x）在x=x₀处取得极小值，且为最小值，对x∈R使f（x）≥0恒成立，则f（x₀）≥0，解不等式即可得到a的范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=a^x-x的导数为f′（x）=a^xlna-1=lna（a^x-

1

lna

），
当0＜a＜1时，f′（x）＜0，f（x）在R上递减，无极值点；
当a＞1时，由a^x=

1

lna

，得x=-

ln(lna)

lna

，f′（x）＞0，可得，x＞-

ln(lna)

lna

，
f′（x）＜0，可得，x＜-

ln(lna)

lna

，
则x₀=-

ln(lna)

lna

为f（x）的极小值点，无极大值点；
（2）当0＜a＜1时，由y=a^x和y=x的图象可得a^x≥x在R上不可能恒成立．
则a＞1．
由（1）得x₀=-

ln(lna)

lna

，当x＜x₀，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x＞x₀，f′（x）＞0，f（x）递增，则有f（x）在x=x₀处取得极小值，且为最小值．
对x∈R使f（x）≥0恒成立，则f（x₀）≥0，则

1

lna

≥-

ln(lna)

lna

，
即有ln（lna）≥-1，即lna≥

1

e

，解得，a≥e

1

e

．
则当a≥e

1

e

时，f（x）≥0对x∈R恒成立．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值、最值，考查不等式的恒成立问题转化为求函数最值，考查运算能力，属于中档题．