Question

如图，两条过原点O的直线l₁，l₂分别与x轴、y轴成30°的角，已知线段PQ的长度为2，且点P（x₁，y₁）在直线l₁上运动，点Q（x₂，y₂）在直线l₂上运动．
（Ⅰ）求动点M（x₁，x₂）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过定点T（0，2）的直线l与（Ⅰ）中的轨迹C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意可知直线l₁⊥l₂，进而可求得两直线的方程，设出P，Q点的坐标分别代入直线方程，根据|PQ|=2求得

x12

3

+x22=1则动点M的轨迹方程可得．
（Ⅱ）设出直线l的方程，带代入椭圆方程消去y，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用判别式求得k的范围，进而根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂根据∵∠AOB为锐角，判断出

OA

•

OB

＞0，求得k的范围，最后综合取交集求得k的范围．

解答：解：（Ⅰ）由已知得直线l₁⊥l₂，l₁：y=

3

3

x，l₂：y=-

3

x
∵P（x₁，y₁）在直线l₁上运动，Q（x₂，y₂）直线l₂上运动，
∴y1=

3

3

x1，y2=-

3

x2，
由|PQ|=2得（x₁²+y₁²）+（x₂²+y₂²）=4，
即

4

3

x12+4x22=4，?

x12

3

+x22=1，
∴动点M（x₁，x₂）的轨迹C的方程为

x2

3

+y2=1．

（Ⅱ）直线l方程为y=kx+2，将其代入

x2

3

+y2=1，
化简得（1+3k²）x²+12kx+9=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
∴△=（12k）²-36×（1+3k²）＞0，?k²＞1，
且x1+x2=-

12kx

1+3k2

， x1x2=

9

1+3k2

，
∵∠AOB为锐角，∴

OA

•

OB

＞0，
即x₁x₂+y₁y₂＞0，?x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）＞0，
∴（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4＞0．
将x1+x2=-

12kx

1+3k2

， x1x2=

9

1+3k2

代入上式，
化简得

13-3k2

1+3k2

＞0，?k2＜

13

3

．
由k²＞1且k2＜

13

3

，得k∈(-

39

3

， -1)∪(1， 

39

3

)．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，考查了基础知识的综合运用．