Question

已知四面体ABCD中，BD=

3

，BC=DC=1，其余棱长均为2，且四面体ABCD的顶点A、B、C、D都在同一个球面上，则这个球的表面积是（　　）

• A．

  2π

  3

• B．

  4π

  3

• C．

  8π

  3

• D．

  16π

  3

Answer 1

分析：由已知中四面体ABCD中，已知，BD=

3

，BC=DC=1，其余棱长均为2，我们设A在底面BCD上的射影为E，球的球心为O，利用解直角三角形，求出四面体ABCD外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求出四面体ABCD外接球的面积．

解答：解：设A在底面BCD上的射影为E，球的球心为O，如图．
由正弦定理得：2BE=

BD

sin∠BCD

=

3

sin120°

=2，
∴BE=1，
在直角三角形ABE中，AE=

AB 2-BE 2

=

4-1

=

3

，
设OA=OB=R，在直角三角形BEO中，OB²=OE²+BE²，
即R²=1²+（

3

-R）²，
∴R=

2

3

则这个球的表面积是4πR²=

16π

3

，
故选D．

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积和球的表面积，其中计算外接球的半径，确定棱锥的高是关键，而求三棱锥的外接球表面积时，最难的问题是求外接球的半径．