Question

已知椭圆，（a＞b＞0）的离心率为，直线与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M（0，t）的直线l′（斜率存在时）与椭圆C交于P、Q两点，设D为椭圆C与y轴负半轴的交点，且|DP|=|DQ|，求实数t的取值范围．

Answer 1

解：（1）以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆的方程为x²+y²=b²，
由直线与圆相切可知，=b即b=2
∵=
∴a²=3b²
∵a²=b²+c²
∴
∴椭圆C的方程
（2）当直线的斜率k=0时，-2＜t＜2
k≠0时，设直线线l′的方程为y=kx+t
联立方程可得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-12=0
则△=36k²t²-4（1+3k²）（3t²-12）＞0，
∴t²＜4+12k²①，且x₁+x₂=，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t
取PQ中点H，则由|DP|=|DQ|可得DH⊥PQ
∵D（0，-2）
∴k=-1
∴t=1+3k²＞1②
①②联立可得
∴t∈（1，4）
综上，t∈（-2，4）
分析：（1）由直线与圆为x²+y²=b²，相切，利用点到直线的距离公式可求b，由及a²=b²+c²可求a，进而可求椭圆C的方程
（2）当直线的斜率k=0时，容易求t的范围；而k≠0时，设直线线l′的方程为y=kx+t，联立方程，由△＞0，可得t，k的不等式，然后结合方程的根与系数关系可求x₁+x₂，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t，从而可求PQ中点H，由|DP|=|DQ|可得DH⊥PQ，利用斜率关系可求t，k的方程，联立可求t的范围
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是确定几何量之间的关系，利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解