Question

（08年山东卷理）（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为

（Ⅰ）求f（）的值；

（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.

Answer 1

【解析】（Ⅰ）f(x)＝

＝

＝2sin(-)

因为f(x)为偶函数，

所以对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，

因此sin（--）＝sin(-).

即-sincos(-)+cossin(-)=sincos(-)+cossin(-),

整理得 sincos(-)=0.因为＞0，且x∈R,所以cos（-）＝0.

又因为0＜＜π，故　-＝.所以f(x)＝2sin(+)=2cos.

由题意得，所以

故　f(x)=2cos2x.

因为

（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象.

　所以

  当  (k∈Z),

  即4kπ＋≤≤x≤4kπ+ (k∈Z)时，g(x)单调递减.

  因此g(x)的单调递减区间为　　　(k∈Z)